第08节 律制的探索
五度相生律
所谓五度相生律，就是从某一基准音符开始，以纯五度（完美五度没有拍音）的方式，不断形成新的音符，将所形成的音符通过八度转换后（上行纯五度等于下行纯四度而下行纯五度等于上行纯四度）归入同一个八度内，最终形成闭环。上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C→G→D→A或者下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E→A。以上两种是完全单纯的上行纯五度与完全单纯的下行纯五度。
从同一个音符开始，理论上共有这些情况存在：
下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E（此即完全单纯的下行纯五度）
上行纯五度为A→E同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）
上行纯五度为A→E→B同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→bG
上行纯五度为A→E→B→#F同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD
上行纯五度为A→E→B→#F→#C同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）同时下行纯五度为A→D→G→C→F
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F同时下行纯五度为A→D→G→C
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C同时下行纯五度为A→D→G
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C→G同时下行纯五度为A→D
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C→G→D（此即完全单纯的上行纯五度）
一共有12种不同的情形。
虽然都是以A作为基准音，但上述12种不同情形所形成的音符音高是存在差异的，因此所构成的音阶、音程、和弦，其数值（比例关系）都是不同的。
这只是以A作为基准音而形成的12种不同情形，如果以其余音符作为基准音，可以构成多少种不同的情形呢？即12*12=144种。（以12个不同的音符分别作为基准音，每一个音符作为基准音都可以形成12种不同的情形。）
譬如再以C作为基准音，可以得到这些情况：
下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E→A→D→G（此即完全单纯的下行纯五度）
上行纯五度为C→G同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E→A→D
上行纯五度为C→G→D同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E→A
上行纯五度为C→G→D→A同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E
上行纯五度为C→G→D→A→E同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）
上行纯五度为C→G→D→A→E→B同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD→bG
上行纯五度为C→G→D→A→E→B→#F同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA→bD
上行纯五度为C→G→D→A→E→B→#F→#C同时下行纯五度为C→F→bB→bE→bA
上行纯五度为C→G→D→A→E→B→#F→#C→#G同时下行纯五度为C→F→bB→bE
上行纯五度为C→G→D→A→E→B→#F→#C→#G→#D同时下行纯五度为C→F→bB
上行纯五度为C→G→D→A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）同时下行纯五度为C→F
上行纯五度为C→G→D→A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F此即完全单纯的上行纯五度）
同样有12种不同的情形。
在这样的过程中，存在一个问题，具体举例来说：
在上行纯五度A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C→G→D，以A作为基准音，依顺序以纯五度生成E、B、#F、#C、#G、#D、（#A/bB）、F、C、G、D这11个音以后，这个最后的D音，与初始的基准音A之间无法形成完美的纯五度。（亦即如果D之后再以一个同样的纯五度生成A音，则这个A音与初始的基准音A之间，相差了近24音分。）所谓完美的纯五度，即近702音分（无拍音），这即是五度相生律中的纯五度，十二平均律（Equal Temperamet）下虽然也是纯五度，但不完美，为700音分（存在拍音）。
可以看到五度相生律的纯五度比十二平均律（Equal Temperamet）的纯五度，多了近2音分，而经过12次五度相生后，就变成了近24音分。这就是五度相生律无法形成完美闭环的原因所在。
为什么十二平均律（Equal Temperamet）不存在这一问题，十二平均律（Equal Temperamet）相邻半音之间为100音分，譬如C与#C、#C与D、D与#D、#D与E、E与F、F与#F、#F与G、G与#G、#G与A、A与#A、#A与B、B与C，这些半音之间都是100音分。进一步说，小二度为100音分、大二度为200音分、小三度300音分、大三度400音分、纯四度500音分、增四度（减五度）600音分、纯五度700音分、小六度800音分、大六度900音分小七度1000音分、大七度1100音分、八度1200音分。
在十二平均律（Equal Temperamet）下，12个纯五度都是700音分，譬如A→E、C→G等。
在五度相生律下，11个纯五度都是近702音分，剩余一个相差近24音分，为678音分。通常这个相差近24音分的五度所形成的五度音程，也称为狼音。根据之前的论述，从一个相同的音符开始调律，会有12种情形，换句话说，这12种情形中，分别会形成12种情况的狼音，分别在不同的五度音程上。
进一步说，以A为基准音：
下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）→E（此即完全单纯的下行纯五度）狼音所在五度音程: （A-E）
上行纯五度为A→E同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→bG→（bC/B）狼音所在五度音程: （E-B）
上行纯五度为A→E→B同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→bD→（bG/#F）狼音所在五度音程: （B- #F）
上行纯五度为A→E→B→#F同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→bA→（bD/#C）狼音所在五度音程: （#F-#C）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→bE→（bA/#G）狼音所在五度音程: （#C-#G）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G同时下行纯五度为A→D→G→C→F→bB→（bE/#D）狼音所在五度音程: （#G-#D）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D同时下行纯五度为A→D→G→C→F→（bB/#A）狼音所在五度音程: （#D-#A）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）同时下行纯五度为A→D→G→C→F狼音所在五度音程:（bB-F）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F同时下行纯五度为A→D→G→C狼音所在五度音程: （F-C）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C同时下行纯五度为A→D→G狼音所在五度音程:（C-G）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C→G同时下行纯五度为A→D狼音所在五度音程:（G-D）
上行纯五度为A→E→B→#F→#C→#G→#D→（#A/bB）→F→C→G→D（此即完全单纯的上行纯五度）狼音所在五度音程:（D-A）
可以看到，当把这11个纯五度中的每一个702音分，拿出2音分后，一共可以拿出近22音分，这样，这11个702音分就变成了11个700音分，而这个678音分加上22音分后，也变成了700音分，这样就从五度相生律变成了十二平均律（Equal Temperamet）。
在之前五度相生律中，曾谈到了，从一个固定的基本音开始调律，会有12种不同情况，如果以其余音符作为基准音，可以构成多少种不同的情形呢？即12*12=144种，但这144种情况，并非完全不同毫无规律，可以分为12组，每一组内保持12个音符之间的相对比例关系相同但绝对音高有所不同，不同的组之间12个音符之间的相对比例关系不同且绝对音高也不相同。
由于12组内的12个音符之间的相对比例关系是一致的，虽然有12种不同情况，但基本上相对音高是一致，绝对音高只是类似整体平移所形成的差异。而在不同的12组之间，哪一组所形成的12个音符之间的相对比例关系是最为理想的呢？请看附图表格。（以A作为基准音）由于纯五度（完美五度）之间都是2:3或3:2的关系（上行或下行），12个音符之间所形成的相对比例如图所示。从中选出最为简单的比例，作为12组中相对理想的律制。
在最为简单的比例中，可以看到，以A作为基准，向上五度调E、B、#F，向下五度调D、G、C，这样构成了G大调音阶的七个音符。如果向上五度再调一个音#C，向下五度再调一个F，则分别构成了D大调音阶、C大调音阶。G大调的关系调：D大调（属）、C大调（下属）。所以，就G大调与之关系调来说，这些音符都是最为简单的比例关系所构成的。问题在于，此时g小调中，VI级大三和弦中的五度音程（bE—bB）是狼音所在的五度音程，听起来十分尖锐刺耳。从上述分析不难看出：从G大调转调进入D大调（属）或C大调（下属）时，并无大碍，但是如果从G大调进入g小调时，则可能会出现上述的问题，需要避免使用狼音所在的五度音程。
这是五度相生律本身的问题：且不说在任意调上自由转换，即便是常见的关系调，都可能无法避免狼音的出现，因此在应用上存在局限性。这些大调音阶与十二平均律下的大调音阶，由于比例关系的不同，听起来还是存在细微差异的。
纯律
在钢琴上纯律是怎样的呢？
以C大调为例，I级和弦C-E-G中，C-G为完美纯五度（无拍音），C-E为完美大三度（无拍音），IV级和弦F-A-C中，F-C为完美纯五度（无拍音），F-A为完美大三度（无拍音），V级和弦G-B-D中，G-D为完美纯五度（无拍音），G-B为完美大三度（无拍音）。
以A小调为例，I级和弦A-C-E中，A-E为完美纯五度（无拍音），A-C为完美小三度（无拍音），IV级和弦D-F-A中，D-A为完美纯五度（无拍音）， D-F为完美小三度（无拍音），V级和弦E-G-B中，E-B为完美纯五度（无拍音）， E-G为完美小三度（无拍音）。
如果上述关系大小调，同时以A音为基准音调律，其中六个音符是一致的，只有D音存在差异。可见附图表格所示。如果D音按C大调，则D-A的五度，是存在明显狼音的。如果D音按A小调，则G-D的五度，是存在明显狼音的。完美的纯五度近似702音分，而这两个存在狼音的五度近似680音分，相差近22音分，狼音十分明显。
在C大调音阶中（以C为根音），十二平均律中的大三度音E、大六度音A、大七度音B都比纯律中相对应的大三度、大六度、大七度宽（明显可以听辨）。十二平均律的纯四度F比纯律的纯四度宽约2音分，十二平均律的纯五度G比纯律的纯五度窄约2音分。十二平均律下纯四度与纯五度存在拍音；纯律的纯四度与纯五度没有拍音。
在C自然大调音阶中，纯律下的这七个音符C、D、E、F、G、A、B其比例关系，是存在于泛音列中的，但五度音程D—A的狼音无法避免。
在A自然小调音阶中，纯律下的这七个音符A、B、C、D、E、F、G其比例关系亦是存在于泛音列中的，但五度音程G—D的狼音无法避免。
可以从图表中看见，D音与C音的关系，在大调中为9/8、在小调中为10/9，这两个比例数值也分别被称为大全音（9/8）、小全音（10/9）。
十二平均律
十二平均律（英语：Equal Temperament），音乐律式的一种，也是当今最主流的律式。将一个八度平均分成十二等份，每等分称为半音，音高八度音指的是频率乘上二倍。八度音的频率分为十二等分，即是分为十二项的等比数列，也就是每个音的频率为前一个音的2的12次方根。
目前钢琴上主要采用十二平均律（Equal Temperament）。一个八度的频率比为2：1，相邻两音的频率之比为2的12次方根。
按照音分来看，十二平均律（Equal Temperament）中，小二度100音分、大二度200音分、小三度300音分、大三度400音分、纯四度500音分、增四度或减五度600音分、纯五度700音分、小六度800音分、大六度900音分、小七度1000音分、大七度1100音分、八度1200音分。
在前文中已经陈述了，完美的纯五度近似702音分（701.9550008654…为无理数），完美的纯四度近似498音分（498.0449991346…为无理数）。完美的纯五度频率之比为2/3，完美的纯四度频率纸币为3/4，但是在十二平均律（Equal Temperament）中无论是纯五度还是纯四度，其频率比例关系皆为无理数，纯四度与纯五度都非完美，而是存在拍音的。
关于频率和音分是两个概念，其算法公式，可参见之前的章节。
对于调律来说，掌握不同音程的拍音，是至关重要的。不同音程之间的拍音，参见附图列表。
对于四度五度法来说，要熟练掌握常用四度与五度音程的拍音、对于三度六度法来说，要熟练掌握常用三度与六度音程的拍音。利用三度与六度音程的拍音同时结合四度与五度音程的拍音，可以让分律更为精确而高效。
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