第02节 频率与音分

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频率

十二平均律（英语：Equal Temperament），音乐律式的一种，也是当今最主流的律式。将一个八度平均分成十二等份，每等分称为半音，音高八度音指的是频率乘上二倍。八度音的频率分为十二等分，即是分为十二项的等比数列，也就是每个音的频率为前一个音的2的12次方根。频率单位为赫兹。

譬如a=220赫兹，#a=220*(2^(1/12)) 赫兹，b=220*(2^(2/12)) 赫兹，c1=220*(2^(3/12)) 赫兹，#c1=220*(2^(4/12)) 赫兹 …… a1=220*(2^(12/12))=440赫兹（^为Excel中计算次方的符号）。

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音分

音分（英语：Cent）是一个用于度量音程的对数标度单位。在十二平均律中，將一個八度音程分為12個半音。每一个半音的音程（相当于相邻钢琴键间的音程）等于100音分。音分通常用於度量极小的音程，或是用于对比不同调律系统中可比音程的大小差异。然而事實上，若是兩個相鄰音符間的音程只有相差1音分時，由於差距极为微小，人耳很难辨別。

1200音分等于一个八度音程，频率比为2:1，等程半音（相当于相邻钢琴键间的音程）等于100音分。这意味着1音分正好等于2的1200次方根。

如果知道两个音x和y的频率，两个音相距的音分值n可用下列公式计算：n=1200*log2（y/x）。

譬如x=220赫兹，y=440赫兹，根据公式n=1200*log2（440/220）=1200，x=220赫兹与y=440赫兹为一个八度相距1200音分。

如果知道一个音x的频率，也知道两音间相距的音分值n，如何求另一个音y的频率？可用公式计算：y=x*(2^(n/1200))。（^为Excel中计算次方的符号）

譬如x=220赫兹，与y音相距n=700音分，则y=220*(2^(700/1200))= 329.6275569赫兹。

那么一个完美的纯五度与十二平均律中的纯五度相差多少音分呢？

譬如以a=220赫兹为基准，完美纯五度（a—e1）中e1=a*3/2=220*3/2=330赫兹，而十二平均律中的纯五度（a—e1）中的e1=a*(2^(7/12))= 329.6275569赫兹。

完美纯五度（a—e1）中e1的音分值（以a=220为参照原点）：

n=1200*log2（y/x）=1200*log2（330/220）=701.955（音分）

十二平均律中的纯五度（a—e1）中的e1的音分值：

n=1200*log2（y/x）=1200*log2（329.6275569/220）=700（音分）

两者相差701.9550009-700=1.955音分（近似2音分）

或者直接计算△=1200*log2（330/329.6275569）=1.955音分（近似2音分）

所以，一个完美的纯五度与十二平均律中的纯五度相差1.955音分（近似2音分）。

完美的纯五度比十二平均律中的纯五度稍宽（宽近似2音分）。

在调律时，调成完美纯五度后，再调窄约2音分即为十二平均律的纯五度。

那么一个完美的纯四度与十二平均律中的纯四度相差多少音分呢？

譬如以a=220赫兹为基准，完美纯四度（a—d1）中d1=a*4/3=220*4/3=293.3333333赫兹，而十二平均律中的纯四度（a—d1）中的d1=a*(2^(5/12))= 293.6647679赫兹。

完美纯四度（a—d1）中d1的音分值（以a=220为参照原点）：

n=1200*log2（y/x）=1200*log2（293.3333333/220）=498.045（音分）

十二平均律中的纯四度（a—d1）中的d1的音分值：

n=1200*log2（y/x）=1200*log2（293.6647679/220）=500（音分）

两者相差498.045-500=-1.955音分（近似-2音分）

或者直接计算△=1200*log2（293.3333333/293.6647679）=-1.955音分（近似-2音分）

所以，一个完美的纯四度与十二平均律中的纯四度相差-1.955音分（近似-2音分）。

完美的纯四度比十二平均律中的纯四度稍窄（窄近似2音分）。

在调律时，调成完美纯四度后，再调宽约2音分即为十二平均律的纯四度。

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